Я получила загранпаспорт до замужества, поменяла фамилию. Как решается этот вопрос? Как изменить фамилию в загранпаспорте? Получать новый?

Загранпаспорт выдается на основании гражданского паспорта. Если в загранпаспорте и в гражданском паспорте различные фамилии, для пограничной службы, юридически, это два паспорта на двух различных человек.

В принципе, для таких стран, где виза в паспорт ставится по прибытии (Турция, Египет) можно рискнуть и ограничится лишь тем что взять с собой ещё и свидетельство о браке. А вот для стран где виза оформляется заранее, например страны Шенгена, это уже не поможет.

Нужно оформлять новый загранпаспорт.

Не забывайте! При оформлении загранпаспорта на новую фамилию, ИНН (индивидуальный налоговый номер) также должен быть на новую фамилию.